Statistical data depth is a non-parametric tool applicable to multivariate data, whose main goal is a reasonable generalisation of quantiles to multivariate datasets. We discuss the halfspace depth, the most important depth in statistics. This depth was first proposed in 1975; its rigorous investigation starts in the 1990s, and still an abundance of open problems stimulates the research in the area. We present several interesting links of the halfspace depth, and some well-studied concepts from geometry. Using these relations we resolve some open problems concerning data depth, and outline perspectives for future research both in data depth, and in geometry.
Možno najlepším odhadom polohy používaným v štatistickej analýze jednorozmerných dát je medián - bod m, ktorý delí dáta na dve rovnako veľké množiny pozorovaní i) menších ako m, a ii) väčších ako m. Medián má radu výborných vlastností: vždy existuje, ľahko sa interpretuje, a je iba málo ovplyvňovaný hrubými chybami merania. Jeho zovšeobecnením sú kvantily, a ďalšie štatistiky založené na poradiach pozorovaní.
Pre viacrozmerné dáta je však ťažké tieto koncepty zmysluplnedefinovať. Jedným z prístupov ako tak urobiť je pomocou tzv. hĺbky dát. V prehľadovom príspevku predstavíme základnú myšlienku merania hĺky dát, a poodhalíme jej vzťahy s niektorými pojmami známymi v geometrii. Ukážeme, že v geometrii existujú dôležité výsledky priamo aplikovateľné na problémy vyvstávajúce pri skúmaní teórie hĺbky. S ich pomocou čiastoene vyriešime niektoré odolávajúce otvorené štatistické problémy, a naznačíme možnosti budúceho výskumu tak pre hĺbku, ako aj pre konvexnú geometriu.
A series of lectures providing a broad introduction to the topic of statistical data depth, and its links to several related fields of advanced mathematics.
V krátkej sérii prednášok sa zameriame na tzv. štatistickú hĺbku dát, a jej teoretické vlastnosti. Hĺbka, v štatistike známa od 70. rokov, je neparametrický nástroj analýzy dát, mienený ako zovšeobecnenie kvantilov a poradí pre komplexné (typicky mnohorozmerné) pozorovania. V prvej časti série predstavíme rozličné prístupy k počítaniu hĺbky, a uvedieme prehľad ich základných vlastností a štatistických aplikácií. V druhej časti odhalíme vzťahy medzi hĺbkou dát a tzv. mierami symetrie množín známymi z konvexnej analýzy. Nakoniec, v tretej časti ukážeme že hĺbka blízko súvisí aj s viacerými ďalšími konceptami intenzívne skúmanými v modernej matematike. Hlavný dôraz bude kladený na historické súvislosti, málo známe medziodborové prepojenia, zaujímavé otvorené problémy, a perspektívne nové smery výskumu.